حل تمرین صفحه 27 ریاضی ششم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۲۷ ریاضی ششم برای جمع و تفریق کسرها، باید ابتدا **کوچک‌ترین مخرج مشترک (ک.م.م)** را پیدا کرده و سپس کسرها را هم مخرج کنیم. در مورد اعداد مخلوط، تفکیک قسمت صحیح و کسری یا تبدیل به کسر بزرگ‌تر از واحد، روش‌های اصلی هستند. ### ۱. جمع و تفریق کسرها * **🔴 $\frac{۷}{۱۰} + \frac{۳}{۴}$:** ک.م.م $\text{۱۰}$ و $\text{۴}$، عدد $\mathbf{۲۰}$ است. $$\frac{۷}{۱۰} + \frac{۳}{۴} = \frac{۷ \times ۲}{۱۰ \times ۲} + \frac{۳ \times ۵}{۴ \times ۵} = \frac{۱۴}{۲۰} + \frac{۱۵}{۲۰} = \frac{۲۹}{۲۰}$$ $$\frac{۲۹}{۲۰} = \mathbf{۱\frac{۹}{۲۰}}$$ * **🔴 $\frac{۲}{۲۱} + \frac{۵}{۶}$:** ک.م.م $\text{۲۱}$ و $\text{۶}$، عدد $\mathbf{۴۲}$ است. $$\frac{۲}{۲۱} + \frac{۵}{۶} = \frac{۲ \times ۲}{۲۱ \times ۲} + \frac{۵ \times ۷}{۶ \times ۷} = \frac{۴}{۴۲} + \frac{۳۵}{۴۲} = \frac{۳۹}{۴۲}$$ $$\frac{۳۹}{۴۲} = \mathbf{\frac{۱۳}{۱۴}} \quad (\text{ساده شده بر } \text{۳})$$ * **🔴 $\frac{۸}{۹} - \frac{۱}{۳}$:** ک.م.م $\text{۹}$ و $\text{۳}$، عدد $\mathbf{۹}$ است. $$\frac{۸}{۹} - \frac{۱}{۳} = \frac{۸}{۹} - \frac{۱ \times ۳}{۳ \times ۳} = \frac{۸}{۹} - \frac{۳}{۹} = \mathbf{\frac{۵}{۹}}$$ ### ۲. جمع و تفریق اعداد مخلوط * **🔴 $۵\frac{۱}{۱۲} - ۵\frac{۴}{۹}$:** تفریق کسرها را انجام می‌دهیم. ک.م.م $\text{۱۲}$ و $\text{۹}$، عدد $\mathbf{۳۶}$ است. * **تبدیل:** $\frac{۱}{۱۲} = \frac{۳}{۳۶}$ و $\frac{۴}{۹} = \frac{۱۶}{۳۶}$ * **چون $\frac{۳}{۳۶}$ از $\frac{۱۶}{۳۶}$ کوچکتر است، باید از $\text{۵}$ قرض بگیریم:** $$۵\frac{۳}{۳۶} - ۵\frac{۱۶}{۳۶} \rightarrow \text{ناقص} \quad \text{یا} \quad ۵\frac{۱}{۱۲} < ۵\frac{۴}{۹}$$ * **توجه:** به نظر می‌رسد جای اعداد در صورت سؤال جابه‌جا شده است. **اگر فرض کنیم کسر بزرگتر را از کوچکتر کم می‌کنیم:** $$\mathbf{۵\frac{۴}{۹} - ۵\frac{۱}{۱۲}}$$ $$(۵-۵) + (\frac{۴}{۹} - \frac{۱}{۱۲}) = \text{۰} + (\frac{۴ \times ۴}{۳۶} - \frac{۱ \times ۳}{۳۶}) = \frac{۱۶}{۳۶} - \frac{۳}{۳۶} = \mathbf{\frac{۱۳}{۳۶}}$$ * **اگر فرض کنیم $\mathbf{۵\frac{۱}{۱۲}}$ باید از $\mathbf{۵\frac{۴}{۹}}$ کم شود:** $\mathbf{-\frac{۱۳}{۳۶}}$ (عدد صحیح منفی می‌شود) * **🔴 $۷ - ۳\frac{۱}{۵}$:** از $\text{۷}$ قرض می‌گیریم: $\text{۶}\frac{۵}{۵}$. $$۷ - ۳\frac{۱}{۵} = ۶\frac{۵}{۵} - ۳\frac{۱}{۵} = (۶-۳) + (\frac{۵}{۵} - \frac{۱}{۵}) = ۳ + \frac{۴}{۵} = \mathbf{۳\frac{۴}{۵}}$$ * **🔴 $۱\frac{۱}{۸} + ۲\frac{۱}{۸}$:** مخرج‌ها برابرند. $$(۱+۲) + (\frac{۱}{۸} + \frac{۱}{۸}) = ۳ + \frac{۲}{۸} = ۳\frac{۲}{۸}$$ $$\mathbf{۳\frac{۱}{۴}} \quad (\text{ساده شده بر } \text{۲})$$ ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۲۷ ریاضی ششم برای مرتب کردن کسرها، باید آن‌ها را **هم مخرج** کنیم. در اینجا بزرگترین مخرج $\mathbf{۱۸}$ است، اما $\text{۶}$ و $\text{۹}$ بر آن بخش‌پذیرند. ک.م.م $\text{۹}, \text{۳}, \text{۶}, \text{۱۸}$، همان $\mathbf{۱۸}$ است. ### ۱. هم مخرج کردن کسرها (مخرج $\mathbf{۱۸}$) * $\frac{۲}{۹} = \frac{۲ \times ۲}{۹ \times ۲} = \frac{۴}{۱۸}$ * $\frac{۱}{۳} = \frac{۱ \times ۶}{۳ \times ۶} = \frac{۶}{۱۸}$ * $\frac{۵}{۶} = \frac{۵ \times ۳}{۶ \times ۳} = \frac{۱۵}{۱۸}$ * $\frac{۱}{۱۸} = \frac{۱}{۱۸}$ * $\text{۵} = \frac{۵ \times ۱۸}{۱۸} = \frac{۹۰}{۱۸}$ ### ۲. مرتب کردن از کوچک به بزرگ حالا کسرها را بر اساس صورت آن‌ها مرتب می‌کنیم: $$\frac{۱}{۱۸} < \frac{۴}{۱۸} < \frac{۶}{۱۸} < \frac{۱۵}{۱۸} < \frac{۹۰}{۱۸}$$ ### ۳. نوشتن ترتیب نهایی $$\mathbf{\frac{۱}{۱۸}}, \quad \mathbf{\frac{۲}{۹}}, \quad \mathbf{\frac{۱}{۳}}, \quad \mathbf{\frac{۵}{۶}}, \quad \mathbf{۵}$$ ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۲۷ ریاضی ششم برای پیدا کردن نزدیک‌ترین مقدار، از روش **تقریب کسرها** به اعداد صحیح ($athbf{۰}, \mathbf{۰.۵}, \mathbf{۱}$) استفاده می‌کنیم. ### ۱. تقریب کسرها * **کسر اول ($athbf{\frac{۵}{۸}}$):** $\frac{۵}{۸}$ به $\frac{۴}{۸} = \mathbf{۰.۵}$ بسیار نزدیک است. * **کسر دوم ($athbf{\frac{۹۹}{۱۰۰}}$):** $\frac{۹۹}{۱۰۰}$ به $\frac{۱۰۰}{۱۰۰} = \mathbf{۱}$ بسیار نزدیک است. ### ۲. محاسبه‌ی تقریب $$\frac{۵}{۸} + \frac{۹۹}{۱۰۰} \approx \mathbf{۰.۵} + \mathbf{۱} = \mathbf{۱.۵}$$ ### ۳. نتیجه‌گیری حاصل جمع به طور تقریبی $\mathbf{۱.۵}$ است. **پاسخ:** حاصل جمع به عدد **$\mathbf{۱.۵}$ (پ)** نزدیک‌تر است. ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۲۷ ریاضی ششم برای محاسبه‌ی محیط و مساحت باغچه، از فرمول‌های مربوط به مستطیل استفاده می‌کنیم. * **طول ($athbf{L}$):** $۲\frac{۱}{۱۰} \text{ متر}$ * **عرض ($athbf{W}$):** $۱\frac{۱}{۴} \text{ متر}$ ### ۱. محاسبه‌ی محیط ($athbf{P}$) فرمول محیط مستطیل: $\mathbf{P = ۲ \times (L + W)}$ 1. **جمع طول و عرض:** ک.م.م $\text{۱۰}$ و $\text{۴}$، عدد $\mathbf{۲۰}$ است. $$L + W = ۲\frac{۱}{۱۰} + ۱\frac{۱}{۴} = (۲+۱) + (\frac{۱}{۱۰} + \frac{۱}{۴})$$ $$۳ + (\frac{۱ \times ۲}{۲۰} + \frac{۱ \times ۵}{۲۰}) = ۳ + \frac{۷}{۲۰} = ۳\frac{۷}{۲۰}$$ 2. **ضرب در $\mathbf{۲}$:** $$\text{P} = ۲ \times (۳\frac{۷}{۲۰}) = ۲ \times \frac{(۳ \times ۲۰) + ۷}{۲۰} = ۲ \times \frac{۶۷}{۲۰}$$ $$\text{P} = \frac{۲ \times ۶۷}{۲۰} = \frac{۶۷}{۱۰}$$ $$\mathbf{\text{P} = ۶\frac{۷}{۱۰}} \text{ متر}$$ --- ### ۲. محاسبه‌ی مساحت ($athbf{A}$) فرمول مساحت مستطیل: $\mathbf{A = L \times W}$ 1. **تبدیل به کسر بزرگتر از واحد:** $$\text{L} = ۲\frac{۱}{۱۰} = \frac{۲۱}{۱۰}, \quad \text{W} = ۱\frac{۱}{۴} = \frac{۵}{۴}$$ 2. **ضرب کسرها:** $$\text{A} = \frac{۲۱}{۱۰} \times \frac{۵}{۴} = \frac{۲۱ \times ۵}{۱۰ \times ۴}$$ * **ساده‌سازی:** $ ext{۵}$ از صورت و $ ext{۱۰}$ از مخرج بر $ ext{۵}$ ساده می‌شوند. $$\text{A} = \frac{۲۱ \times \mathbf{۱}}{\mathbf{۲} \times ۴} = \frac{۲۱}{۸}$$ 3. **تبدیل به عدد مخلوط:** $ ext{۲۱} \div \text{۸} = \mathbf{۲}$ باقی‌مانده $athbf{۵}$. $$\mathbf{\text{A} = ۲\frac{۵}{۸}} \text{ متر مربع}$$ ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۲۷ ریاضی ششم ### ۱. عبارت اول (جمع کسرها با مخرج یکسان) $$\frac{۷}{۵} + \frac{۳}{۵} = \frac{۷+۳}{۵} = \frac{۱۰}{۵} = \text{۲}$$ * **نتیجه:** **درست** ✅. * **دلیل:** در جمع کسرها با مخرج مشترک، فقط صورت‌ها با هم جمع می‌شوند و مخرج ثابت می‌ماند. $\text{۷} + \text{۳} = \text{۱۰}$ و $\frac{۱۰}{۵} = \text{۲}$ درست است. --- ### ۲. عبارت دوم (جمع کسرها با مخرج متفاوت) $$\frac{۳}{۱۵} + \frac{۳}{۲۰} = \frac{۳}{۱۵+۲۰} = \frac{۳}{۳۵}$$ * **نتیجه:** **نادرست** ❌. * **دلیل:** هنگام جمع کسرها با مخرج‌های نامساوی، **نباید مخرج‌ها را با هم جمع کرد**. ابتدا باید **هم مخرج** شوند. **اصلاح راه‌حل:** 1. **ک.م.م $\text{۱۵}$ و $\text{۲۰}$:** مضرب‌های $\text{۱۵}$: $ ext{۱۵}, \text{۳۰}, \text{۴۵}, \mathbf{۶۰}, \text{...}$. مضرب‌های $\text{۲۰}$: $ ext{۲۰}, \text{۴۰}, \mathbf{۶۰}, \text{...}$. $athbf{\text{ک.م.م} = \text{۶۰}}$. 2. **هم مخرج و جمع:** $$\frac{۳}{۱۵} + \frac{۳}{۲۰} = \frac{۳ \times ۴}{۱۵ \times ۴} + \frac{۳ \times ۳}{۲۰ \times ۳} = \frac{۱۲}{۶۰} + \frac{۹}{۶۰} = \frac{۲۱}{۶۰}$$ 3. **ساده‌سازی:** کسر بر $ ext{۳}$ ساده می‌شود. $$\frac{۲۱}{۶۰} = \mathbf{\frac{۷}{۲۰}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۲۷ ریاضی ششم ### ۱. طرح مسئله (مسئله‌ی جمع کسرها) **مسئله پیشنهادی:** «علی برای یک پروژه‌ی ساختمانی، ابتدا $\frac{۱}{۱۲}$ از روز اول و سپس $\frac{۷}{۱۰}$ از روز دوم وقت صرف کرد. او روی هم رفته چقدر از کار خود را در این دو روز انجام داده است؟» *** ### ۲. حل مسئله باید حاصل جمع $\frac{۱}{۱۲} + \frac{۷}{۱۰}$ را پیدا کنیم. 1. **ک.م.م $\text{۱۲}$ و $\text{۱۰}$:** مضرب‌های $\text{۱۰}$: $ ext{۱۰}, \text{۲۰}, \text{۳۰}, \text{۴۰}, \text{۵۰}, \mathbf{۶۰}, \text{...}$. مضرب‌های $\text{۱۲}$: $ ext{۱۲}, \text{۲۴}, \text{۳۶}, \text{۴۸}, \mathbf{۶۰}, \text{...}$. $athbf{\text{ک.م.م} = \text{۶۰}}$. 2. **هم مخرج و جمع:** $$\frac{۱}{۱۲} + \frac{۷}{۱۰} = \frac{۱ \times ۵}{۱۲ \times ۵} + \frac{۷ \times ۶}{۱۰ \times ۶} = \frac{۵}{۶۰} + \frac{۴۲}{۶۰} = \frac{۴۷}{۶۰}$$ **پاسخ:** علی روی هم رفته $\mathbf{\frac{۴۷}{۶۰}}$ از کار خود را انجام داده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۲۷ ریاضی ششم **پاسخ:** خیر، **به طور قطعی نمی‌توان گفت** مقدار پول اهدا شده توسط این دو نفر مساوی است. ❌ ### ۱. دلیل (تفاوت مقدار کل دارایی) آنچه مساوی است، **نسبت** پول اهدایی به دارایی کل است ($\frac{۱}{۳}$). اما مقدار پولی که اهدا می‌شود، به **مقدار کل دارایی هر فرد** بستگی دارد. * $\text{مقدار اهدایی} = \frac{۱}{۳} \times \text{کل دارایی}$ اگر دارایی‌های اولیه مساوی نباشد، $\frac{۱}{۳}$ آن‌ها نیز مساوی نخواهد بود. ### ۲. مثال عددی * **نیکوکار اول:** دارایی $\mathbf{۳۰,۰۰۰,۰۰۰}$ تومان. $$\text{مقدار اهدایی اول} = \frac{۱}{۳} \times \text{۳۰,۰۰۰,۰۰۰} = \mathbf{۱۰,۰۰۰,۰۰۰} \text{ تومان}$$ * **نیکوکار دوم:** دارایی $\mathbf{۶۰,۰۰۰,۰۰۰}$ تومان. $$\text{مقدار اهدایی دوم} = \frac{۱}{۳} \times \text{۶۰,۰۰۰,۰۰۰} = \mathbf{۲۰,۰۰۰,۰۰۰} \text{ تومان}$$ **نتیجه:** هر دو $\frac{۱}{۳}$ دارایی خود را دادند، اما **مقدار پول اهدایی ($ ext{۱۰}$ میلیون و $ ext{۲۰}$ میلیون) مساوی نیست.** ### ۳. کمک گرفتن از شکل * **شکل اول:** یک مستطیل کوچک (دارایی اول) که $\text{۱}$ قسمت از $\text{۳}$ آن رنگ شده. (مقدار اهدایی) * **شکل دوم:** یک مستطیل بزرگتر (دارایی دوم) که $\text{۱}$ قسمت از $\text{۳}$ آن رنگ شده. (مقدار اهدایی) درست است که نسبت‌های اهدایی ($rac{۱}{۳}$) مساوی هستند، اما **اندازه‌ی ناحیه‌های رنگ شده مساوی نیستند.** ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۲۷ ریاضی ششم می‌خواهیم دو کسر $\frac{۱}{۲}$ و $\frac{۲}{۳}$ را مقایسه کنیم. ### ۱. مقایسه با استفاده از محور اعداد (الف) روی محور اعداد بین $athbf{۰}$ و $athbf{۱}$، محل هر دو کسر را مشخص می‌کنیم: 1. **$\frac{۱}{۲}$:** وسط فاصله‌ی $ ext{۰}$ تا $ ext{۱}$ قرار دارد. 2. **$\frac{۲}{۳}$:** این بازه را به $athbf{۳}$ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم و روی $athbf{۲}$ قسمت جلو می‌رویم. * **نتیجه:** چون $\frac{۲}{۳}$ در سمت راست $\frac{۱}{۲}$ قرار دارد، پس $\mathbf{\frac{۲}{۳} > \frac{۱}{۲}}$. --- ### ۲. مقایسه با مخرج مشترک گرفتن (ب) ک.م.م $\text{۲}$ و $\text{۳}$، عدد $athbf{۶}$ است. 1. **هم مخرج کردن:** $$\frac{۱}{۲} = \frac{۱ \times ۳}{۲ \times ۳} = \frac{۳}{۶}$$ $$\frac{۲}{۳} = \frac{۲ \times ۲}{۳ \times ۲} = \frac{۴}{۶}$$ 2. **مقایسه:** چون $\mathbf{۴}$ از $\mathbf{۳}$ بزرگتر است، پس $\mathbf{\frac{۴}{۶} > \frac{۳}{۶}}$. * **نتیجه:** $\mathbf{\frac{۲}{۳} > \frac{۱}{۲}}$. --- ### ۳. مقایسه با رسم شکل (پ) دو مستطیل (واحد) مساوی رسم می‌کنیم و هر کدام را به تعداد مخرج‌ها تقسیم و سپس رنگ می‌کنیم. 1. **$\frac{۱}{۲}$:** یک مستطیل را به $athbf{۲}$ قسمت تقسیم می‌کنیم و $athbf{۱}$ قسمت را رنگ می‌زنیم. 2. **$\frac{۲}{۳}$:** یک مستطیل مساوی را به $athbf{۳}$ قسمت تقسیم می‌کنیم و $athbf{۲}$ قسمت را رنگ می‌زنیم. * **نتیجه:** ناحیه‌ی رنگ شده برای $\frac{۲}{۳}$ بزرگتر از ناحیه‌ی رنگ شده برای $\frac{۱}{۲}$ است. $\mathbf{\frac{۲}{۳} > \frac{۱}{۲}}$. ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۲۷ ریاضی ششم این تمرین بر مقایسه‌ی دو کسر $\mathbf{\frac{۲}{۳}}$ و $\mathbf{\frac{۱}{۴}}$ تمرکز دارد و از خاصیت ضرب برای ایجاد تساوی یا نامساوی استفاده می‌کند. ### نکته‌ی کلیدی: مقایسه‌ی $\frac{۲}{۳}$ و $\frac{۱}{۴}$ ابتدا این دو کسر را با مخرج مشترک ($athbf{۱۲}$) مقایسه می‌کنیم: $$\frac{۲}{۳} = \frac{۸}{۱۲}, \quad \frac{۱}{۴} = \frac{۳}{۱۲}$$ $$\text{پس } \mathbf{\frac{۲}{۳} > \frac{۱}{۴}}$$ --- ### ۱. ایجاد تساوی ($athbf{=}$) $$\frac{۲}{۳} \times \mathbf{\square} = \frac{۱}{۴} \times \mathbf{\square}$$ برای ایجاد تساوی، اگر در دو طرف یک علامت ضرب قرار دهیم، باید آن علامت با هم برابر باشد (هر دو طرف ضرب در یک عدد یکسان شود) یا با قرینه‌ی همدیگر. اما ساده‌ترین راه، **تنظیم مقادیر به‌صورت عکس** است: 1. **روش ساده:** اگر هر دو طرف را در $athbf{۰}$ ضرب کنیم، حاصل هر دو طرف $athbf{۰}$ می‌شود. $$\frac{۲}{۳} \times \mathbf{۰} = \frac{۱}{۴} \times \mathbf{۰}$$ 2. **روش اصلی:** برای تساوی، باید $\mathbf{۴}$ (مخرج کسر دوم) را در طرف اول و $athbf{۳}$ (مخرج کسر اول) را در طرف دوم قرار دهیم. $$\frac{۲}{۳} \times \mathbf{3} = \frac{۲}{۴} \times \mathbf{2} \rightarrow \frac{۶}{۳} = ۲, \frac{۲}{۴} = \frac{۱}{۲}$$ **پاسخ پیشنهادی:** $athbf{۰}$ و $athbf{۰}$. --- ### ۲. ایجاد نامساوی کوچک‌تر ($athbf{<}$) $$\frac{۲}{۳} \times \mathbf{\square} < \frac{۱}{۴} \times \mathbf{\square}$$ از آنجایی که $\mathbf{\frac{۲}{۳}}$ بزرگتر است، برای اینکه سمت چپ کوچک‌تر شود، باید $\mathbf{\frac{۲}{۳}}$ را در یک عدد کوچک و $\mathbf{\frac{۱}{۴}}$ را در یک عدد بزرگتر ضرب کنیم. * **پاسخ پیشنهادی:** $\mathbf{\text{۱}}$ در سمت چپ و $\mathbf{\text{۱۰}}$ در سمت راست. $$\frac{۲}{۳} \times \mathbf{۱} = \frac{۲}{۳} \approx \text{۰.۶۶}$$ $$\frac{۱}{۴} \times \mathbf{۱۰} = \frac{۱۰}{۴} = \mathbf{۲.۵}$$ $$\text{۰.۶۶} < \text{۲.۵} \rightarrow \mathbf{۱} < \mathbf{۱۰}$$ --- ### ۳. ایجاد نامساوی بزرگ‌تر ($athbf{>}$) $$\frac{۲}{۳} \times \mathbf{\square} > \frac{۱}{۴} \times \mathbf{\square}$$ از آنجایی که $\mathbf{\frac{۲}{۳}}$ بزرگتر است، برای حفظ نامساوی، کافی است هر دو طرف را در یک عدد **مثبت یکسان** ضرب کنیم (مثلاً $athbf{۱}$). * **پاسخ پیشنهادی:** $athbf{۱}$ در سمت چپ و $athbf{۱}$ در سمت راست. $$\frac{۲}{۳} \times \mathbf{۱} = \frac{۲}{۳}$$ $$\frac{۱}{۴} \times \mathbf{۱} = \frac{۱}{۴}$$ $$\frac{۲}{۳} > \frac{۱}{۴} \rightarrow \mathbf{۱} > \mathbf{۱}$$ (این اشتباه است، چون ضرب در $athbf{۱}$ برابر است.) **پاسخ صحیح:** برای تقویت نامساوی، عدد بزرگتر ($athbf{\frac{۲}{۳}}$) را در عدد بزرگتر و عدد کوچکتر ($athbf{\frac{۱}{۴}}$) را در عدد کوچکتر ضرب می‌کنیم. * **پاسخ پیشنهادی:** $athbf{۱۰}$ در سمت چپ و $athbf{۱}$ در سمت راست. $$\frac{۲}{۳} \times \mathbf{۱۰} = \frac{۲۰}{۳} \approx \text{۶.۶۶}$$ $$\frac{۱}{۴} \times \mathbf{۱} = \frac{۱}{۴} = \mathbf{۰.۲۵}$$ $$\text{۶.۶۶} > \text{۰.۲۵} \rightarrow \mathbf{۱۰} > \mathbf{۱}$$